线性增益图的坐标均衡覆盖及其在二次模数 Coset-List Min-2-Lin 上的应用

我们研究了模二次方程删除的列表约束扩展，称为 $\mathbb{Z}/2^d\mathbb{Z}$ 上的 Coset-List Min-2-Lin$^{\pm}$。每个变量限制在二次余项 $a+2^{\ell}(\mathbb{Z}/2^d\mathbb{Z})$ 上，每个二进制约束形式为 $x_u=x_v$、$x_u=-x_v$ 或 $x_u=2x_v$，目标是删除最小数量的约束，使剩余系统可满足。该问题位于无列表情况与 poorly 理解的完全保守列表设置之间。我们的主要技术结果是针对标记为 $\mathbb{F}_2^r$ 中向量的线性增益图的坐标均衡覆盖定理。给定任意成本不超过 $k$ 的均衡子图，随机化程序输出顶点集 $S$ 和边集 $F$，使得 $(G-F)[S]$ 均衡，且以概率 $2^{-O(k^2r)}$，每个隐藏成本不超过 $k$ 的均衡子图都包含在 $S$ 中，而所有 incident 删除都由 $F$ 捕获。证明将 Dabrowski、Jonsson、Ordyniak、Osipov 和 Wahlstr"om 的单坐标均衡覆盖定理在坐标之间张量化，并结合一个用以替代环境提升维度的秩压缩定理，即内在循环标签秩 $\rho$。我们还发展了循环空间表述、割空间/势函数 characterize of balancedness、等价标记的最小维数表述，以及二次余项系统的显式位提升分析。这些结果导致一个运行时间为 $2^{O(k^2\rho+k\log(k\rho+2))}\cdot n^{O(1)}+\widetilde{O}(md+\rho^\omega)$ 的随机化单侧错误算法；相同框架还返回所有规模为至多 $k$ 的解中最小权重的可行删除集。