基于线性 PI 不等式的耦合线性二维偏微分方程 $L_2$ 增益分析

本文提出一种利用半定规划估计由两空间变量二阶线性偏微分方程（PDEs）所支配系统的 $L_2$ 增益的新方法。先前已证明，对任意此类 PDE，均可推导出一个等价的偏积分方程（PIE）。这些 PIE 用映射 $L_2[\Omega]$ 中状态的偏积分（PI）算子表示，且不含 PDE 中出现的边界与连续性约束。本文将二维 PIE 表示扩展至包含 $\mathbb{R}^n$ 中的输入与输出信号，推导了 PDE 与 PIE 解之间的双射映射，以及两种表示间转换所需的公式。接着，利用 PI 算子的代数性质，我们证明可通过检验一个线性 PI 不等式（LPI）的可行性来验证 PIE 的 $L_2$ 增益上界，该不等式由映射 $\mathbb{R}^n\times L_2[\Omega]$ 的 PI 算子的正性约束定义。最后，我们利用正矩阵参数化 $\mathbb{R}^n\times L_2[\Omega]$ 上正 PI 算子的一个锥，从而可使用半定规划检验 $L_2$ 增益 LPI 的可行性。我们在 MATLAB 工具箱 PIETOOLS 中实现了该检验，并证明此方法能以很小的保守性估计 PDE 的 $L_2$ 增益上界。