利用凸优化合成耦合线性二维偏微分方程的 $H_{\infty}$-最优估计器

任何适定的二维空间偏微分方程都可以表示为偏积分方程 (PIE)，其系统动力学使用偏积分 (PI) 算子参数化。此外，具有 PIE 表示的偏微分方程的 $L_2$-增益分析可以转化为线性算子不等式，该不等式可以使用凸优化求解。在本文中，这些结果被用来推导一个基于凸优化的测试，用于构造二维偏微分方程的 $H_{\infty}$-最优估计器。特别地，我们首先使用 PIE 来表示一个任意的适定二维偏微分方程，其中传感器测量发生在域的某个边界上。然后，使用 PI 算子 $\mathcal{L}$ 作为观测器增益，参数化一个关联的 Luenberger 型估计器。通过检查该估计器的误差动力学，证明了可以通过求解关于 PI 算子变量的线性算子不等式来最小化这些误差动力学的 $H_{\infty}$-范数的上界。最后，提出了一类二维 PI 算子求逆的解析公式，然后用于重构 Luenberger 增益 $\mathcal{L}$。结果在 PIETOOLS 软件套件中实现——对一个具有边界观测的不稳定二维热方程应用该方法并模拟所得的观测器。