坐标无关卷积网络——黎曼流形上的等距与规范等变卷积

受深度卷积网络巨大成功的启发，将卷积推广到非欧几里得流形引起极大兴趣。与平坦空间相比，一个主要困难在于不清楚卷积核应以何种对齐方式应用于流形上。此模糊性的根本原因是一般流形不带有参考标架（规范）的典型选择。因此核与特征必须相对于任意坐标表示。我们认为坐标的具体选择不应影响网络的推断——它应当是坐标无关的。对坐标无关与权值共享的同时要求被证明导致网络需在局部规范变换（局部参考标架改变）下等变。参考标架的模糊性取决于流形的G结构，使得必要的规范等变水平由相应结构群G规定。坐标无关卷积被证明对那些是G结构对称性的等距变换等变。所得理论以无坐标形式用纤维丛表述。为示例坐标无关卷积的设计，我们在Möbius带上实现了一个卷积网络。我们微分几何形式的卷积网络理论的普适性通过广泛的文献综述得以展示，该综述将大量欧几里得CNN、球面CNN以及一般曲面上的CNN解释为坐标无关卷积的特定实例。