带乘性噪声的朗之万模拟退火算法收敛性 II：全变差距离

我们研究带乘性噪声的朗之万模拟退火型算法的收敛性，即对 $V : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ 这一待最小化势函数，考虑随机微分方程 $dY_t = - \sigma \sigma^\top \nabla V(Y_t) dt + a(t)\sigma(Y_t)dW_t + a(t)^2\Upsilon(Y_t)dt$，其中 $(W_t)$ 为布朗运动，$\sigma : \mathbb{R}^d \to \mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ 为自适应（乘性）噪声，$a : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ 为递减趋于 $0$ 的函数，$\Upsilon$ 为修正项。令 $\sigma$ 依赖于位置相较于经典朗之万方程 $dY_t = -\nabla V(Y_t)dt + \sigma dW_t$ 可带来更快收敛。在先前论文中，我们已建立 $Y_t$ 及其关联欧拉格式 $\bar{Y}_t$ 在 $L^1$-Wasserstein 距离下对 $\text{argmin}(V)$ 的收敛性（采用经典调度 $a(t) = A\log^{-1/2}(t)$）。本文我们证明全变差距离下的收敛性。全变差情形处理起来更为困难，需要正则化引理。