Griddy Gibbs 采样及其他扰动马尔可夫链的收敛性

Griddy Gibbs 采样由 Ritter 和 Tanner（1992）提出，作为著名 Gibbs 采样方法的一种计算高效的近似。该算法简单有效，已成功用于解决应用科学各领域的问题。然而，该算法的近似性质阻碍了它的广泛应用：Griddy Gibbs 采样方法生成的马尔可夫链一般不可逆，因此其不变测度的存在性与唯一性无法保证。即使这样的不变测度唯一存在，此前也没有关于它与目标概率分布之间距离的估计，因而无法确保该算法作为从真实分布中采样手段的有效性。在本文中，我们在相当自然的一些条件下证明 Griddy Gibbs 方法具有唯一的不变测度。此外，我们给出了该不变测度与由 Gibbs 采样得到的相应测度之间距离的 $L^p$ 估计。这些结果为使用 Griddy Gibbs 采样方法提供了理论基础。我们还给出了一个更一般的结果，关于转移概率微小扰动下不变测度的敏感性。即，若用另一个与转移概率 $P$ 接近的转移概率 $Q$ 替换任意蒙特卡洛马尔可夫链的转移概率 $P$，我们仍能估计两个不变测度之间的距离。我们的方法与先前关于扰动马尔可夫链收敛性工作的区别在于，通过将不变测度视为函数空间上线性算子的不动点，我们无需对马尔可夫链的收敛速率施加任何额外条件。