平均代数的控制结构、形变与同伦理论

结合代数 $A$ 上的平均算子是时空中定义的实值函数空间上时间平均算子的代数抽象。本文考虑结合代数 $A$ 上双模 $M$ 的相对平均算子。相对平均算子诱导出 $M$ 空间上的双结合代数结构。由结合代数、双模与相对平均算子构成的完整数据称为相对平均代数。我们定义了相对平均代数上的双模，其与双结合代数的表示相契合。我们构造了一个分次李代数与一个 $L_\infty$-代数，它们分别控制给定相对平均算子与相对平均代数的代数结构。我们还定义了相对平均算子与相对平均代数的上同调，并找到了连接各类上同调群的长正合序列。作为应用，我们研究了相对平均代数的形变与阿贝尔扩张。最后，我们定义了同伦相对平均代数，并证明其诱导同伦双结合代数。