图中的可控子集

设 $X$ 是一个具有 $v$ 个顶点和邻接矩阵 $A$ 的图，并设 $S$ 是其顶点的一个子集，其特征向量为 $z$。我们称对 $(X,S)$ 是可控的，如果向量 $A^rz$ 对于 $r=1,\ldots,v-1$ 张成 $\mathbb{R}^v$。我们主要关注 $S=V(X)$ 或 $S$ 是单个顶点的情况。在本文中，我们发展了可控对的基本理论。我们将看到，如果 $(X,S)$ 是可控的，那么将 $S$ 作为集合固定的 $X$ 的唯一自同构是恒等映射。如果 $(X,S)$ 对于某个子集 $S$ 是可控的，那么 $A$ 的特征值都是单重的。