临界情形下无序钻石分形上定向聚合物的连续统模型

我们构造并研究了一族随机连续统聚合物测度 $\mathbf{M}_{r}$,对应于近期在具有边际相关无序的分层图上聚合物模型的弱耦合机制中导出的极限配分函数律。我们将这些连续统聚合物(称为定向路径)等同于单位区间 $[0,1]$ 到豪斯多夫维数为二的紧致钻石分形中的等距嵌入,且在定向路径空间 $\Gamma$ 上存在自然的“均匀”概率测度 $\mu$。当钻石分形维数小于二时,随机路径测度 $\mathbf{M}_{r}$ 的实现相比其亚临界对应物展现出强局域化性质。而使用纯测度 $\mu$ 独立采样的两路径 $p,q\in \Gamma$ 以概率一仅有有限个交点,无序乘积测度 $\mathbf{M}_{r}\times \mathbf{M}_{r}$ 的实现几乎必然对交点集不可数但豪斯多夫维数为零的路径对 $(p,q)$ 赋予正权重。我们利用广义(对数)豪斯多夫测度对这些零维集的大小给出更精细刻画。随机测度 $\mathbf{M}_{r}$ 的律无法构造为亚临界高斯乘性混沌,因为(在形式意义上)其与高斯场的耦合强度将不得不为无穷。