图贝叶斯反问题中后验的连续极限

我们考虑在未知域 $M$ 上恢复一个微分方程输入函数的问题。假设我们可以访问一个离散域 $M_n=\{x_1, \dots, x_n\} \subset M$，以及在这些点中 $p\le n$ 个点处输出解的含噪测量值。我们引入一个基于图的贝叶斯反问题，并证明 $M_n$ 上函数的图后验测度在 $n$ 趋于无穷大的极限下收敛到 $M$ 上函数的后验测度，该后验测度求解一个已知域的贝叶斯反问题。证明依赖于贝叶斯更新的变分形式，以及一种用于研究点云上函数测度向连续体上函数测度收敛的新拓扑。我们的框架、技术和结果可为机器学习中基于图的任务的鲁棒不确定性量化奠定基础。这些思想在恢复未知流形上热方程初始条件的具体设定中呈现。