紧流形上的连续小波

设 $\bf M$ 为光滑紧致定向黎曼流形，$\Delta_{\bf M}$ 为 ${\bf M}$ 上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。设 $0 \neq f \in \mathcal{S}(\RR^+)$，且 $f(0) = 0$。对于 $t > 0$，令 $K_t(x,y)$ 表示 $f(t^2 \Delta_{\bf M})$ 的核。我们证明 $K_t$ 在对角线附近具有良好的局部化，即它满足类似于 $\RR^n$ 上卷积算子 $f(t^2\Delta)$ 的核所满足的估计。我们在 ${\bf M}$ 上定义连续 ${\cal S}$-小波，使得 $K_t(x,y)$ 由于其在对角线附近的局部化而满足该定义。${\bf M}$ 上的连续 ${\cal S}$-小波类似于 $\mathcal{S}(\RR^n)$ 中 $\RR^n$ 上的连续小波。特别地，对于严格介于 0 和 1 之间的赫尔德指数，我们能够通过 ${\bf M}$ 上赫尔德连续函数的连续 ${\mathcal{S}}-$小波变换的大小来刻画这些函数。如果 $\bf M$ 是环面 $\TT^2$ 或球面 $S^2$，且 $f(s)=se^{-s}$（即“墨西哥帽”情形），我们得到 $K_t$ 的两个显式近似公式，一个用于 $t$ 较大时，一个用于 $t$ 较小时。