波兰空间上的连续 Ramsey 理论与用函数覆盖平面

我们研究完备可分的度量空间上连续对染色的 Ramsey 理论，并将结果应用于用函数覆盖平面的问题。对染色 $c:[X]^2 \to 2$，其齐次数 hm(c) 为覆盖 $X$ 所需的 $c$-齐次子集的个数。我们分离出 Cantor 空间 $2^\omega$ 上的两个连续对染色 $c_{\min}$ 与 $c_{\max}$，它们满足 hm($c_{\min}$)\le hm($c_{\max}$)，并证明：1. 对每个波兰空间 $X$ 与每个满足 hm(c) 不可数的连续对染色 $c:[X]^2 \to 2$：hm(c)= hm($c_{\min}$) 或 hm(c)=hm($c_{\max}$)；2. 存在一个集合论模型使得 hm($c_{\min}$)=$\aleph_1$ 且 hm($c_{\max}$)=$\aleph_2$（hm($c_{\min}$) = $2^{\aleph_0}$ 与 hm($c_{\max}$) < $2^{\aleph_0}$ 的一致性已知）。我们证明 hm($c_{\min}$) 等于用 Lipschitz 函数图像及其关于对角线的反射覆盖 $(2^\omega)^2$ 的覆盖数。对与 $c_{\min}$ 关联的最优力迫概念的迭代给出：存在一个集合论模型使得 1. $\mathbb{R}^2$ 可被 $\aleph_1$ 个连续实函数及其反射的图像覆盖；2. $\mathbb{R}^2$ 不可被 $\aleph_1$ 个 Lipschitz 实函数及其反射的图像覆盖。