着色相对大集合的Ramsey定理的强度
逻辑
2024-01-10 v1 计算机科学中的逻辑
组合数学
摘要
我们刻画了针对所谓“恰好大”集合的双色着色的一个Ramsey型定理的计算内容和证明论强度。一个“恰好大”集合是X⊂ℕ使得|X|=min(X)+1。我们分析的定理如下：对于ℕ的每个无限子集M，对于M的恰好大子集的每个双色着色C，存在M的无限子集L，使得C在L的所有恰好大子集上为常数。该定理本质上归功于Pudlák和Rödl以及独立地Farmaki。我们证明——在可计算数学中——该定理等价于在ω图灵跳跃下的闭包（即算术真理）。自然组合定理在这个复杂度水平上很少见。我们的结果从可计算数学和算术证明论的角度给出了该定理的完整刻画。这很好地扩展了当前关于Ramsey定理强度的知识。我们还表明，基于回归Ramsey定理的相关原理也有类似结果。此外，我们给出了关于皮亚诺算术真谓词的进一步刻画。我们猜想对于更大的序数也有类似结果。
引用
@article{arxiv.1204.1134,
title = {The strength of Ramsey Theorem for coloring relatively large sets},
author = {Lorenzo Carlucci and Konrad Zdanowski},
journal= {arXiv preprint arXiv:1204.1134},
year = {2024}
}