某些 Kummer 曲面上的 Nikulin 构型构造及其应用

Nikulin 构型是 K3 曲面上 $16$ 条互不相交的光滑有理曲线的数据。根据 Nikulin 的一个著名结果，若 K3 曲面包含一个 Nikulin 构型 $\mathcal{C}$，则 $X$ 是一个 Kummer 曲面 $X=Km(B)$，其中 $B$ 是由 $\mathcal{C}$ 决定的阿贝尔曲面。设 $B$ 是一个具有极化 $M$ 且 $M^{2}=k(k+1)$（对整数 $k>0$）的泛型阿贝尔曲面，并设 $X=Km(B)$ 为相应的 Kummer 曲面。对于 $X=Km(B)$ 上的自然 Nikulin 构型 $\mathcal{C}$，我们关联另一个 Nikulin 构型 $\mathcal{C}'$；记 $B'$ 为与 $\mathcal{C}'$ 关联的阿贝尔曲面，从而我们也有 $X=Km(B')$。对 $k\geq2$ 我们证明 $B$ 与 $B'$ 不同构。进而我们构造出从该情形自然出现的 Kummer 曲面 $X$ 的一个无限阶自同构。关联于两个 Nikulin 构型 $\mathcal{C},$ $\mathcal{C}'$，存在一个自然的双二重覆盖 $S\to X$，它是一个一般型曲面。我们研究这个在 Bogomolov-Tschinkel 意义下为拉格朗日曲面的曲面，并且对 $k=2$ 它是一个 Schoen 曲面。