将低阶球面设计并集构造为高阶球面设计

我们展示了如何利用球面设计的变分刻画，取若干球面设计的并集，以较少点数获得更高阶（次数、精度、确切度）的球面设计。我们所考虑的示例涉及在复数反射群作用下取两个向量的轨道，从而获得加权球面 $(t,t)$-设计。这些设计具有高度对称性（相对于点数而言），且许多为此类设计的首次已知构造，例如 $\mathbb{C}^2$ 上的 $32$ 点 $(9,9)$-设计、$\mathbb{C}^3$ 上的 $48$ 点 $(4,4)$-设计，以及 $\mathbb{C}^4$ 上的 $400$ 点 $(5,5)$-设计。由实反射群，我们构造了 $\mathbb{R}^4$ 上的 $360$ 点 $(9,9)$-设计（18阶球面半设计），即 $\mathbb{R}^4$ 上的 $720$ 点球面 $19$-设计。