构造具有给定谱和向量长度集的有限标架

在为特定应用构造有限标架时，最重要的考量是标架算子的谱。事实上，标架算子的最小和最大特征值是最优标架界，而当该谱为常数时标架恰好是紧的。通常，第二重要的设计考量是标架向量的长度：Gabor标架、小波标架、等角标架和Grassmann标架都是等范数标架的特例，而已知单位范数紧标架编码对加性噪声和擦除具有最优鲁棒性。我们考虑构造其标架算子具有给定谱且其向量具有指定长度的标架问题。对于给定的谱和长度集，此类标架的存在性由Schur-Horn定理刻画——它们存在当且仅当谱优超平方长度——其经典证明是非构造性的。某些构造方法，如调和标架和谱俄罗斯方块，在单位范数紧标架的特例中是已知的，但即使这些方法也仅提供了所有此类标架流形中的少数例子，该流形的维数是已知且非平凡的。在本文中，我们提供了一种新方法，用于显式构造其标架算子具有指定谱且其向量具有指定长度的任意及所有标架。该方法本身有两部分。第一部分，选择特征步——一个交错谱序列——将平凡谱变换为所需谱。第二部分是根据这些特征步显式计算标架向量；尽管非平凡，但此过程足够直接，可以手工实现，仅涉及算术、平方根和矩阵乘法。