构建二人 N 策略量子游戏中的纠缠器

在基于二人 $N$ 策略经典游戏的量子游戏中，每位玩家拥有一个 quNit（$N$ 维希尔伯特空间 ${\cal H}_N$ 中的归一化向量），并在其上施加其策略（矩阵 $U \in$ SU(N)）。玩家的收益源自状态 $|\Psi \ra=J^\dagger U_1 \otimes U_2 J|\Psi_0 \ra \in {\cal H}_N \otimes {\cal H}_N$。此处 $|\Psi_0 \ra$ 和 $J$（均由游戏裁判确定）分别是一个{\it 非纠缠} 的 2-quNit（纯）态和一个酉算子，使得 $|\Psi_1 \ra \equiv J|\Psi_0 \ra \in {\cal H}_N \otimes {\cal H}_N$ 为{\it 部分纠缠} 态。量子游戏中纯策略纳什均衡的存在性与 $|\Psi_1 \ra$ 的纠缠度密切相关。因此，设计依赖于{\it 单个} 实参数 $\beta$ 的纠缠器 $J=J(\beta)$ 是切实可行的，该参数控制 $|\Psi_1 \ra$ 的纠缠度，使其冯·诺依曼熵 ${\cal S}_N(\beta)$ 连续并在 $[0, \log N]$ 范围内取{\it 任意值}。此外，仅当 $|\Psi_1 \ra$ 呈现施密特分解形式时，才可能实现对 ${\cal S}_N(\beta)$ 的有效控制。针对 $N=2$ 设计 $J(\beta)$ 相当标准，但推广至 $N>2$ 并不显而易见，在此我们提出一种算法以实现这一目标。