在输出敏感空间中构造反词典

若单词 $x$ 不出现于单词 $y$ 中,且它的所有真因子均出现于 $y$ 中,则称 $x$ 为极小的。给定字母表 $\Sigma$ 上 $k$ 个单词 $y_1,y_2,\ldots,y_k$,要求计算单词 $y=y_1\#y_2\#\ldots\#y_k$(其中 $\#\notin\Sigma$)的长度不超过 $\ell$ 的极小缺席词集合 $\mathrm{M}^{\ell}_{y_{1}\#\ldots\#y_{k}}$。在数据压缩中,这对应于计算 $k$ 个文档的反词典。在生物信息学中,它对应于计算具有 $k$ 条染色体的基因组所缺席的单词。利用现有大量 $\mathcal{O}(n)$ 时间算法,该计算通常需要 $\Omega(n)$ 空间($n=|y|$)。这是因为要在 $y$ 上构建大小为 $\Omega(n)$ 的文本索引,对于较大的 $n$ 可能不切实际。我们使用输出敏感空间增量式地完成相同的计算。当对所有 $N\in[1,k]$ 均有 $||\mathrm{M}^{\ell}_{y_{1}\#\ldots\#y_{N}}||=o(n)$ 时,该目标是合理的。例如,在人类基因组中,$n \approx 3\times 10^9$ 但 $||\mathrm{M}^{12}_{y_{1}\#\ldots\#y_{k}}|| \approx 10^6$。为表述结果我们考虑常数大小字母表。我们证明,所有 $\mathrm{M}^{\ell}_{y_{1}},\ldots,\mathrm{M}^{\ell}_{y_{1}\#\ldots\#y_{k}}$ 可在 $\mathcal{O}(kn+\sum^{k}_{N=1}||\mathrm{M}^{\ell}_{y_{1}\#\ldots\#y_{N}}||)$ 总时间内使用 $\mathcal{O}(\mathrm{MaxIn}+\mathrm{MaxOut})$ 空间计算完成,其中 $\mathrm{MaxIn}$ 为 $\{y_1,\ldots,y_{k}\}$ 中最长单词的长度,$\mathrm{MaxOut}=\max\{||\mathrm{M}^{\ell}_{y_{1}\#\ldots\#y_{N}}||:N\in[1,k]\}$。我们还提供了概念验证实验结果,证实了我们的理论发现并印证了我们的贡献。