Hamming 度量到 Edit 度量的常速率等距嵌入

如果对于所有的 $x,y\in\{0,1\}^n$，$x$ 和 $y$ 之间的 Hamming 距离等于 $\varphi(x)$ 和 $\varphi(y)$ 之间的 edit 距离，则函数 $\varphi:\{0,1\}^n \to \{0,1\}^N$ 被称为从 $n$ 维 Hamming 度量空间到 $N$ 维 edit 度量空间的等距嵌入。此类嵌入的速率定义为比率 $n/N$。文献中已知如何构造速率为 $\Omega(1/\log n)$ 的等距嵌入。然而，迄今为止，实现具有正常数速率的甚至近似等距的嵌入仍然难以企及。在本文中，通过发现与同步字符串的联系，我们提出了一种速率为 $1/8$ 的等距嵌入，同步字符串曾在插入-删除码的背景下被研究（Haeupler-Shahrasbi [JACM'21]）。在技术层面上，我们引入了一个框架，利用一种称为错位器的新型对象来获得高速率等距嵌入。作为常速率等距嵌入的直接推论，我们改进了 edit 度量中各种优化问题的已知条件下界，现在对维度具有最优依赖性。我们通过证明对于所有正整数 $n$，不存在速率大于 $15/32$ 的等距嵌入 $\varphi:\{0,1\}^n \to \{0,1\}^N$ 来补充我们的结果。在证明该上界的过程中，我们揭示了每个 Hamming 到 edit 等距嵌入所必需的基本结构性质。我们还证明了在更大字母表上的嵌入的类似上下界。最后，我们考虑了不同输入和输出字母表之间的嵌入 $\varphi:\Sigma_{\mathrm{in}}^n \to \Sigma_{\mathrm{out}}^N$，其速率由 $\frac{n\log|\Sigma_{\mathrm{in}}|}{N\log|\Sigma_{\mathrm{out}}|}$ 给出。在此设置下，我们证明了速率可以任意接近 $1$。