常数秩算子在克恩-麦克斯韦-索布亚夫不等式中的研究

我们关注具有简化常数秩的克恩-麦克斯韦-索布亚夫不等式。这些不等式形式为\n$$\|P - \Pi_{\mathbb{B}} \Pi_{\ker\mathscr{A}} P\|_{\dot{\mathrm{W}}^{k-1, p^*}(\mathbb{R}^n)} \le c \, (\|\mathscr{A}[P]\|_{\dot{\mathrm{W}}^{k-1, p^*}(\mathbb{R}^n)} + \|\mathbb{B} P\|_{\mathrm{L}^p(\mathbb{R}^n)})$$\n对所有 $P \in \mathrm{C}_c^\infty(\mathbb{R}^n; V)$ 成立，其中 $V$ 为有限维向量空间，$\mathscr{A}$ 为线性映射，$\mathbb{B}$ 为常系数齐次微分算子，阶数为 $k$。特别地，可以处理组合 $(p,\mathscr{A},\mathbb{B},k)=(1,\operatorname{tr},\operatorname{Curl},1)$。我们的结果推广了 Gmeineder 等人（Math.Mod.Met.Appl.Sci,34:03,2024; arXiv:2405.10349）的技术，这些技术专门处理简化椭圆算子。然而，与简化椭圆性情况不同，简化常数秩情况需要在不等式左侧引入一种校正，即算子 $\Pi_\mathbb{B}$ 的投影。