基于高斯过程先验的贝叶斯推断对抛物型反问题的一致性

我们考虑如下统计非线性反问题：在热方程中恢复吸收项 $f>0$，$$\partial_tu-\frac{1}{2}\Delta u+fu=0 \quad \text{on $\mathcal{O}\times(0,\textbf{T})$}\quad u = g \quad \text{on $\partial\mathcal{O}\times(0,\textbf{T})$}\quad u(\cdot,0)=u_0 \quad \text{on $\mathcal{O}$},$$ 其中 $\mathcal{O}\in\mathbb{R}^d$ 为有界域，$\textbf{T}<\infty$ 为固定时间，$g,u_0$ 为给定的充分光滑函数，分别描述边界值与初值。数据由解 $u_f$ 在 $\mathcal{O}\times(0,\textbf{T})$ 上的 $N$ 个离散带噪点评估组成。我们研究基于一大类高斯过程先验的贝叶斯非参数方法的统计性能。我们证明，随着测量数增加，所得后验分布在生成数据的真实参数附近集中，并导出相应后验均值重建误差的收敛速率。我们还考虑收缩速率的最优性，证明从数据推断 $f$ 的极小极大收敛速率下界，并表明截断高斯先验可达到最优速率。