从假设检验视角看时间-能量不确定关系

难以区分初始时刻 $t_0$ 的状态与时刻 $t_0+\Delta t$ 的状态。区分两态的任务可解释为关于态 $\rho$ 的假设检验问题，即判定 $\rho$ 是 $\rho_{t_0}$ 还是 $\rho_{t_0+\Delta t}$。我们给出该假设检验的优化过程，以及即便执行了优化检验仍难以区分两态的条件。此外，我们从优化假设检验的视角考察时间-能量不确定关系。优化含两步。第一步基于给定测量结果由 Neyman-Pearson 定理优化决策规则。第二步选取最优测量以最大化检验功效。证明最优测量为 $\{ |0\rangle \langle 0|,1-|0\rangle \langle 0|\}$，且当 $\Delta t \ll 1$ 满足时，优化检验中的检验功效为 $\gamma_{Max}=1-\exp(-\frac{2n}{\hbar^2}\Delta t^2\Delta H^2)+o(\Delta t^2)$，其中 n 为数据个数。当该检验功效下降时将无法区分两态。在优化假设检验中此条件变为 $\frac{2n}{\hbar^2}\Delta t^2\Delta H^2\ll 1$。值得注意的是，最优测量由时间-能量不确定关系证明中的算子 $Q_0$ 与 $1-Q_0$ 构成。即，时间-能量不确定关系给出了即便最优测量也几乎无法探测初态改变的时间间隔。