整数剩余类覆盖与子集和之间的联系

本文建立了由剩余类对 $\mathbb Z$ 的覆盖与域中子集和之间的联系。设 $A_0=\{a_s(n_s)\}_{s=0}^k$ 以剩余类 $a_0(n_0)=a_0+n_0\mathbb Z$ 为冗余地至少覆盖每个整数 $p$ 次，其中 $p$ 是不整除 $n_1,\ldots,n_k$ 中任何一个的素数。令 $m_1,\ldots,m_k\in\mathbb Z$ 分别地与 $n_1,\ldots,n_k$ 互素。对任意 $c,c_1,\ldots,c_k\in\mathbb Z/p\mathbb Z$ 且 $c_1\cdots c_k\not=0$，我们证明集合 $$\bigg\{\bigg\{\sum_{s\in I}\frac{m_s}{n_s}\bigg\}:\, I\subseteq\{1,\ldots,k\} \ \mbox{and}\ \sum_{s\in I}c_s=c\bigg\}$$ 包含一个长度为 $n_0$、公差为 $1/n_0$ 的等差数列，其中 $\{x\}$ 表示实数 $x$ 的小数部分。