两体系统的约束及 $d$ 维计算

一个在三维（3D）空间中运动的系统向低维空间（2D 或 1D）运动的连续过渡，可借助外挤压势实现。沿一个方向挤压产生 3D 到 2D 的过渡，而沿两个方向同时挤压产生 3D 到 1D 的过渡，且不经过中间的 2D 构型。同理，对于在 2D 空间中运动的系统，沿一个方向的挤压势产生 2D 到 1D 的过渡。本文中，我们研究此类约束过程与不施加外场、但将维度 $d$ 作为从 $d=3$ 连续变化至 $d=1$ 的参数的计算之间的等价性。详细研究了外谐振子挤压势作用于两体系统的实际情况。对于所考虑的三种过渡——3D~$\rightarrow$~2D、2D~$\rightarrow$~1D 与 3D~$\rightarrow$~1D——发现了谐振子参数与维度 $d$ 之间的普适联系。该关系在两体势的无穷大 3D 散射长度（对应 3D~$\rightarrow$~2D 与 3D~$\rightarrow$~1D 过渡）以及无穷大 2D 散射长度（对应 2D~$\rightarrow$~1D 情形）下确立良好。对于有限散射长度必须施加尺寸修正。外挤压势的传统波函数被证明与特定非整数维度参数 $d$ 的波函数唯一相关。