Erdős-Rényi图中击中时间的集中性

我们考虑固定$0 < p < 1$且$n \rightarrow \infty$的Erdős-Rényi图$G(n,p)$，并研究从$w$出发的随机游走首次到达$v$所需步数的期望$H_{wv}$。一个自然的猜测是Erdős-Rényi随机图足够均匀，以至于它并不真正区分顶点，从而$H_{wv} = (1+o(1)) n$。Löwe-Terveer建立了平均起始击中时间的中心极限定理，暗示$H_{w v} = n \pm \mathcal{O}(\sqrt{n})$。我们证明了一个强集中现象的存在：$H_{w v}$由一个仅含边总数$|E|$、$v$的度数以及距离$d(v,w)$的显式简单公式给出，误差至多约为$\sqrt{\log{n}}/\sqrt{n}$。