计算模糊几何的谱作用：从随机非交换几何到双迹多矩阵模型

模糊几何是一类特殊的谱三元组，其 Dirac 算子本质上是一个有限矩阵。该概念由 [J. Barrett, J. Math. Phys. 56, 082301 (2015)] 引入，并包含了熟悉的模糊空间如球面和环面。在随机非交换几何的框架下，我们利用 Barrett 对模糊几何 Dirac 算子的刻画，以系统计算 $2n$ 维模糊几何的谱作用 $S(D)= \mathrm{Tr} f(D)$。与原始的 Chamseddeddine-Connes 谱作用不同，我们取一个满足 $f(x)\to \infty$（当 $|x|\to\infty$）的多项式 $f$，从而获得一个良定义的路径积分，其可表述为具有如下类型作用的随机矩阵模型：$S(D)=N \cdot \mathrm{tr}\, F+\textstyle\sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr} \,B_i$，其中 $F,A_i$ 和 $B_i$ 是参数化 Dirac 算子 $D$ 的 $2^{2n-1}$ 个复 $N\times N$ 矩阵的 noncommutative 多项式。对于任意符号——即任意可容许的 KO 维数——我们给出了 2 维模糊几何直至六次多项式的公式，以及 4 维模糊几何直至四次多项式的公式，并聚焦于 Lorentzian 与 Riemannian 符号下的八矩阵模型。非交换多项式 $F,A_i$ 和 $B_i$ 通过弦图获得，并满足：与 $N$ 无关；主多项式 $F$ 的自伴性（模每个单项式的循环重排）；同样模循环性，对固定 $i$，$A_i$ 与 $B_i$ 同时自伴或反自伴。总体而言，这有利于我们所阐述的大-$N$ 极限的自由概率视角。