用参数化方法计算二维映射的不变圆及其稳定流形：有效算法与收敛性的严格证明
动力系统
2021-11-01 v1
摘要
我们提出并严格分析了一种二次收敛算法，用于计算二维映射的不变圆以及相应的稳定流形叶状结构。我们证明，当算法从一个非常近似满足不变方程（取决于在某些近似解上评估的一些条件数）的初始猜测开始时，算法收敛到接近初始猜测的真解。在光滑范数下收敛速度快于指数收敛。精确解与近似之间的距离由初始误差界定。这允许验证数值近似（后验结果）。由于不变方程在某一模型中的精确解是相似模型的近似解，它也蕴含通常的持久性表述。我们提出的算法无论不变圆上的动力学是旋转还是相位锁定都有效。所需的条件数不涉及映射的任何全局定性性质。它们通过对初始猜测的导数、猜测邻域内映射的导数进行求值、执行代数运算并取上确界获得。收敛证明基于一个为此问题专门定制的通用Nash-Moser隐函数定理。该Nash-Moser过程具有不寻常的性质。结果表明，正则性要求并不十分严苛（仅需2阶导数即可）。我们希望此隐函数定理能具有独立意义，并在一个自包含的附录中予以呈现。本文算法非常实用，因为它二次收敛，且需要适中的存储量和运算量。实现的细节与运行结果在 companion paper [YdlL21] 中描述。
引用
@article{arxiv.2110.15882,
title = {Computing the Invariant Circle and its Stable Manifolds for a 2-D Map by the Parameterization Method: Effective Algorithms and Rigorous Proofs of Convergence},
author = {Yian Yao and Rafael De La Llave},
journal= {arXiv preprint arXiv:2110.15882},
year = {2021}
}