计算有向图的 2-块

设 $G$ 为一个有向图。$G$ 中的\textit{2-有向块}是一个极大顶点集 $C^{2d}\subseteq V$，满足 $|C^{2d}|\geq 2$，且对于 $C^{2d}$ 中任意一对不同顶点 $x,y$，在 $G$ 中存在两条从 $x$ 到 $y$ 的点不相交路径以及两条从 $y$ 到 $x$ 的点不相交路径。与 $G$ 的 2-点连通分量不同，由 2-有向块诱导的子图可能包含很少甚至没有边。本文提出了两种算法，可在 $O(\min\lbrace m,(t_{sap}+t_{sb})n\rbrace n)$ 时间内计算 $G$ 的 2-有向块，其中 $t_{sap}$ 是 $G$ 的强关节点数量，$t_{sb}$ 是 $G$ 的强桥数量。此外，我们研究了两个相关概念：$G$ 的 2-强块和 2-边块。我们给出了两种算法，可在 $O( \min \lbrace m,t_{sap} n\rbrace n)$ 时间内计算 $G$ 的 2-强块，并表明 $G$ 的 2-边块可在 $O(\min \lbrace m, t_{sb} n \rbrace n)$ 时间内计算。本文还研究了与有向图的强关节点和 2-块相关的一些优化问题。给定一个强连通图 $G=(V,E)$，寻找一个最小基数集合 $E^{*}\subseteq E$，使得 $G^{*}=(V,E^{*})$ 是强连通的，且 $G$ 的强关节点与 $G^{*}$ 的强关节点重合。该问题称为具有相同强关节点的最小强连通生成子图问题。我们证明该 NP-hard 问题存在一个线性时间的 $17/3$ 近似算法。我们还考虑了在强连通图 $G$ 中寻找具有相同 2-块的最小强连通生成子图的问题。针对该问题的三种版本（取决于 2-块的类型），我们提出了相应的近似算法。