Schottky问题的计算方法

我们提出了一种基于Fay三割线恒等式（适用于亏格 $g\geq 4$）的经典Schottky问题的计算方法。对于给定的Riemann矩阵 $\mathbb{B}\in\mathbb{H}^{g}$，正如Krichever所证明的，Fay恒等式建立了Kummer簇中割线的线性相关性，当且仅当该Riemann矩阵对应于Jacobi簇。表达这些割线的theta函数依赖于Riemann曲面上四个任意点的Abel映射。然而，对于一般的 $\mathbb{B} \in \mathbb{H}^{g}$ 并没有Abel映射的概念。为建立割线的线性相关性，进入theta函数的向量中的四个分量可自由选取，其余分量由Newton迭代确定以最小化Fay恒等式的残差。Krichever定理保证：若在输入数据的泛型选取下该残差在有限数值精度内消失，则该Riemann矩阵在此数值精度下是某Riemann曲面的周期矩阵。在亏格4下，我们将该算法针对若干例子与已知在此情形给出Jacobi轨迹的Schottky-Igusa模形式进行比较，表明在此情形下Schottky-Igusa形式与基于Fay恒等式的方法达到相同的残差。在亏格5、6和7下，我们讨论了已知的Riemann矩阵及其扰动例子，这些例子不满足Fay恒等式。