张量 Stiefel 流形上的计算：一项初步研究

令 $*$ 表示两个三阶张量之间的 t-积。本工作的目的是研究集合 $St(n,p,l):= \{\mathcal Q\in \mathbb R^{n\times p\times l} \mid \mathcal Q^{\top}* \mathcal Q = \mathcal I \}$ 上的基本计算，其中 $\mathcal Q$ 是大小为 $n\times p \times l$ 的三阶张量，$\mathcal I$（$n\geq p$）是单位张量。首先验证了赋予通常 Frobenius 范数的 $St(n,p,l)$ 构成一个黎曼流形，本文称之为（三阶）张量 Stiefel 流形。然后我们推导了 $St(n,p,l)$ 上的切空间、黎曼梯度和黎曼 Hessian。此外，给出了基于 t-QR、t-极分解、Cayley 变换和 t-指数的各种收缩以及向量迁移的公式。期望本研究推导的公式可如同其矩阵对应物一样，作为分析张量 Stiefel 流形上优化问题并为其设计黎曼算法的基本构件。