非例外单项式情形下 Villamayor 算法的复杂度

我们研究单项式理想，其局部总由一个单项式给出，以此作为估算 Villamayor 奇点消解算法中单项变换次数的一般性第一步。单项式理想 $<X_1^{a_1}\cdot ... \cdot X_n^{a_n}>$ 的消解因其与特定环面问题 $<Z^c- X_1^{a_1}\cdot ... \cdot X_n^{a_n}>$ 的等价性而具有研究价值。在特殊情形下，即所有指数 $a_i$ 均大于或等于临界值 $c$ 时，我们构造了消解树的最大分支，从而给出了一个涉及 Catalan 数部分和的上界。此情形被称为“最小余维情形”。Catalan 数的部分和（起始为 $1,2,5,...$）为 $1,3,8,22,...$。这些部分和在组合数学中广为人知，用于计数所有具有 $n+1$ 条边的有序树中从根节点出发的路径数目。Catalan 数出现在许多组合问题中，例如计数在 $n+1$ 个字母的单词中插入 $n$ 对括号的方法数、具有 $n+1$ 个顶点的平面树数等。非最小情形，即存在某个指数 $a_{i_0}$ 小于 $c$ 的情形，将被称为“高余维情形”。在此尚未解决的情形中，我们给出一个示例以阐明主要困难。在两种情形下，示例计算均有助于研究消解不变量的行为。计算工作使用 G. Bodn\'ar 和 J. Schicho 开发的 \emph{desing} 包（见 \cite{lib}）在 Singular（见 \cite{sing}）中完成。