球域 Robin 本征值问题的完整谱

我们研究以下的 Robin 本征值问题 \begin{equation*} \left\\{ \begin{array}{ll} -\Delta u=\mu u\, &\text{in}\, B, \\ \partial_\texttt{n} u+\alpha u=0 &\text{on}\, \partial B \end{array} \right\end{equation*} 在 $\mathbb{R}^N$ 的单位球中。我们获得该问题的完整谱结构。特别地，对于 $\alpha>0$，第一个本征值为 $k_{\nu,1}^2$，第二个本征值为 $k_{\nu+1,1}^2$，其中 $k_{\nu+l,m}$ 为 $j J_{\nu+l+1}(k)-(\alpha+l) J_{\nu+l}(k)$ 的第 $m$ 个正零点。此外，当 $\alpha\in(-l,1-l)$ 其中 $l\in \mathbb{N}$，则有 $l$ 个负（严格递增）本征值 $-\widehat{k}_{\nu+i,1}^2$ 其中 $i\in\{0,\ldots,l-1\}$，而 $\widehat{k}_{\nu+l,1}$ 表示唯一的零点 $\alpha I_{\nu+l}(k)+lI_{\nu+l}(k)+kI_{\nu+l+1}(k)$；当 $\alpha=-l$ 时，除了 $l$ 个负（递增）本征值外，$0$ 也是本征值。