具有满足幂零律的正 Haar 测度集合的紧群

在 [4, Question 1.20] 中提出了以下问题：设 $G$ 为紧群，并假设 $$\mathcal{N}_k(G) = \{(x1,\dots,x_{k+1}) \in G^{k+1} \;\|; [x_1,\dots, x_{k+1}] = 1\}$$ 在 $G^{k+1}$ 中具有正 Haar 测度。则 $G$ 是否有一个开 $k$ 步幂零子群？$k=1$ 的情形已知。我们对 $k=2$ 给出了肯定回答。