Chevalley 群中相对与绝对初等子群的交换位

在本文中，作为我们与 Roozbeh Hazrat 合著的论文 [10,11,35] 的直接续作，我们进一步大幅缩减了 Chevalley 群中相对初等子群交换位生成集。即，设 $\Phi$ 为秩 $\ge 2$ 的约化不可约根系，$R$ 为交换环，$A,B$ 为 $R$ 的两个理想。我们考虑 $R$ 上类型 $\Phi$ 的 Chevalley 群 $G(\Phi,R)$ 的子群。$A$ 水平的绝对初等子群 $E(\Phi,A)$ 由 $A$ 水平的初等幂幺元 $x_{\alpha}(a)$（$\alpha\in\Phi$，$a\in A$）生成（作为群）。它在绝对初等子群 $E(\Phi,R)$ 中的正规闭包记为 $E(\Phi,R,A)$，称为 $A$ 水平的相对初等子群。[11,35] 的主要结果在于构造了互交换位子群 $[E(\Phi,R,A),E(\Phi,R,B)]$ 的经济生成集，其中 $A$ 和 $B$ 是 $R$ 的两个理想。结果表明可以取 $E(\Phi,R,AB)$ 的 Stein---Tits---Vaserstein 生成元，加上形如 $y_{\alpha}(a,b)=[x_{\alpha}(a),x_{-\alpha}(b)]$ 的初等换位子，其中 $a\in A$，$b\in B$。在此我们进一步改进这些结果，表明实际上只需涉及对应于{\it 一个\/}长根的初等换位子，并且模 $E(\Phi,R,AB)$ 换位子 $y_{\alpha}(a,b)$ 表现为符号。我们还讨论了这些结果的一些进一步变体与应用。