Chevalley 群中相对交换子子群的生成

设 $\Phi$ 为秩 $\ge 2$ 的既约不可约根系，$R$ 为交换环，$I,J$ 为 $R$ 的两个理想。在本文中，我们描述了相对初等子群 $\big[E(\Phi,R,I),E(\Phi,R,J)\big]$ 的交换子群的生成元，既作为初等 Chevalley 群 $E(\Phi,R)$ 的正规子群，也作为群本身。具体而言，设 $x_{\a}(\xi)$，$\a\in\Phi$，$\xi\in R$，为 $E(\Phi,R)$ 的初等生成元。作为绝对初等群 $E(\Phi,R)$ 的正规子群，相对初等子群由 $x_{\a}(\xi)$，$\a\in\Phi$，$\xi\in I$ 生成。Michael Stein、Jacques Tits 和 Leonid Vaserstein 的经典结果断言，作为群，$E(\Phi,R,I)$ 由 $z_{\a}(\xi,\eta)$ 生成，其中 $\a\in\Phi$，$\xi\in I$，$\eta\in R$。在本文中，我们证明了这些结果的双相对类比。作为 $E(\Phi,R)$ 的正规子群，相对交换子子群 $\big[E(\Phi,R,I),E(\Phi,R,J)\big]$ 由以下三类生成元生成：i) $\big[x_{\alpha}(\xi),z_{\alpha}(\zeta,\eta)\big]$，ii) $\big[x_{\alpha}(\xi),x_{-\alpha}(\zeta)\big]$，以及 iii) $x_{\alpha}(\xi\zeta)$，其中 $\alpha\in\Phi$，$\xi\in I$，$\zeta\in J$，$\eta\in R$。作为群，生成元基本相同，只是类型 iii) 应扩展为 iv) $z_{\alpha}(\xi\zeta,\eta)$。对于经典群，这些结果及其更为繁复的计算证明已在作者之前的论文中建立。这些结果已有一个惊人的应用，即 Alexei Stepanov 近期关于相对交换子宽度的工作。