斜二次超曲面上的分次 Cohen--Macaulay 模稳定范畴的组合研究

本文给出了非交换超曲面的表示论与组合学之间的一个新联系。设 $S$ 为 $n$ 个次数为 $1$ 的变量的分次 $(\pm 1)$-斜多项式代数,且 $f =x_1^2 + \cdots +x_n^2 \in S$。我们证明,在 $S/(f)$ 上的分次极大 Cohen--Macaulay 模的稳定范畴 $\mathsf{\underline{CM}}^{\mathbb Z}(S/(f))$ 可以使用四种图操作完全计算出来。作为推论,$\mathsf{\underline{CM}}^{\mathbb Z}(S/(f))$ 等价于导出范畴 $\mathsf{D^b}(\operatorname{\mathsf{mod}} k^{2^r})$,且此 $r$ 作为某个 ${\mathbb F}_2$ 上矩阵的零度得到。利用 Stanley--Reisner 理想的性质,我们还证明了 $S$ 的点概形中与 ${\mathbb P}^1$ 同构的不可约分支的个数小于或等于 $\binom{r+1}{2}$。