对称并与部分纽结的着色

受Kinoshita和Terasaka工作的启发，Lamm引入了对称并的概念，它可以通过在$J \# -\!J$的图中沿其对称轴引入额外的交叉点，从部分纽结$J$构造而成。如果$J$和$J'$都是同一个带形纽结$K$的不同对称并表示的部分纽结，则称纽结$J$和$J'$对称相关。Lamm证明了如果$J$和$J'$对称相关，则$\det J = \det J'$，并询问逆命题是否成立。在本文中，我们对Lamm的问题给出了否定答案，对于任何自然数$m$构造了一个由$2^m$个具有相同行列式的纽结组成的族，使得该族中没有两个纽结是对称相关的。这个结果是我们的主要定理的推论，即如果$J$是$K$的对称并表示中的部分纽结，那么$\text{col}_p(J) \leq \text{col}_p(K) \leq \frac{(\text{col}_p(J))^2}{2}$，其中$\text{col}_p(\cdot )$表示纽结的$p$-着色数。