通过结合多面体中的着色路径对平面图进行着色

Hassler Whitney 于 1931 年提出的定理将寻找二维球面三角剖分的正常顶点 4-着色的任务简化为寻找二维球面三角剖分中具有哈密顿回路的一类三角剖分 $\mathfrak H$ 的此类着色。从 1936 年至今，Whitney 等人一直利用这一点寻找四色定理（4CT）的等价重新表述。最近有一些活动试图利用这些重新表述中的一些来寻找 4CT 的更简短证明。$\mathfrak H$ 中的每个三角剖分都有一个对偶图，该对偶图是两棵具有相同叶子数量的二叉树的并集。被称为 Thompson 群 $F$ 的群的元素是具有相同叶子数量的成对二叉树的等价类。本文探讨了这种相似性，并发现 4CT 的一些近期重新表述本质上是在尝试使用 $F$ 在某个生成集上的元素字表示来对 $\mathfrak H$ 的元素进行着色。由此，我们不仅推导出了关于 $\mathfrak H$ 中某些元素可着色性的信息，还推导出了关于着色这些元素的所有可能方式的信息。因此，我们提出（并回答了部分）关于计数的问题。我们还引入了群 $F$ 的一个扩展 $E$，并询问某些元素是否“参数化”了 $\mathfrak H$ 元素使用所有四种颜色的所有着色的集合。