某些模曲线的粗基变换失效

对于同余子群 $H \subset \mathrm{GL}_2(\hat{\mathbb{Z}})$，模曲线 $X_H$（即水平 $H$ 模叠 $\mathscr{X}_H$ 的粗模空间）的形成，已知在广泛情形下与任意基变换交换。我们展示了无穷多个 $H$（例如 $H = \Gamma_1(4)$）使得这一粗基变换性质失效。在我们的例子中，失效体现在基变换到 $\mathbb{F}_2$ 时，以及对于 $\mathscr{X}_H$ 的任何 $\mathbb{Z}_{(2)}$-纤维稠密开子叠。这些例子填补了 Katz 与 Mazur 著作中表格里的若干空缺条目。