非光滑振荡器网络中的簇态

对于具有 Laplacian 耦合的耦合振荡器网络，主稳定性函数（MSF）已被证明是评估同步状态稳定性的特别强大的工具。利用群论工具，该方法最近已被扩展以处理更一般的簇态。然而，MSF 及其推广需要从周期轨道线性化得到的变分方程中确定一组 Floquet 乘子。由于周期轨道的解析解总是难以获得，该框架通常使用数值技术进行探索。在此我们表明，通过关注分段线性（PWL）振荡器模型，可以获得对网络动力学更深入的认识。这些模型不仅允许显式构造周期轨道，其变分分析也可以显式进行。采用此类非光滑系统的代价是，光滑动力系统中的许多概念，特别是线性稳定性，需要进行修改以考虑 Jacobian 矩阵分量中可能的跳跃。这可以通过使用 saltation 矩阵自然地加以处理。通过用此类矩阵扩展研究光滑动力系统的变分方法，我们表明，对于已被用作生物系统模型的多种网络，簇态可以被显式地研究。作为示例，我们分析了一个具有事件驱动突触耦合的 integrate-and-fire 网络模型，以及一个由平面 PWL 节点构建的扩散耦合网络，其中包括对流行的 Morris--Lecar 神经元模型的简化。我们利用这些例子强调，网络簇态的稳定性既取决于单节点动力学的选择，也同样取决于网络结构连接性的形式。