复与四元数随机变量的 Skitovich–Darmois 与 Heyde 定理

我们证明经典 Skitovich–Darmois 定理对于复随机变量的如下类比。设 $\alpha=a+ib$ 为非零复数。则以下陈述成立。 $1$。设或 $b\ne 0$，或 $b=0$ 且 $a>0$。设 $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 为独立复随机变量。假定线性型 $L_1=\xi_1+\xi_2$ 与 $L_2=\xi_1+\alpha\xi_2$ 独立。则 $\xi_j$ 为退化随机变量。 $2$。设 $b=0$ 且 $a<0$。则存在广义复高斯随机变量 $\xi_1$ 与 $\xi_2$，它们不是狭义复高斯随机变量，而线性型 $L_1=\xi_1+\xi_2$ 与 $L_2=\xi_1+\alpha\xi_2$ 独立。我们还研究了 Heyde 定理对于复随机变量的类比。