二元映射的片段连续性与拟连续性

我们研究映射$f: X\times Y\to Z$的连续性点的存在性，其中$x$-截面$Y\ni y\to f(x,y)\in Z$是可片段的，$y$-截面$X\ni x\to f(x,y)\in Z$是拟连续的，$X$是Baire空间，$Z$是度量空间。对于因子$Y$，我们考虑两个无限“选点”博弈$G_1(y)$和$G_2(y)$，分别对每个$y\in Y$定义如下：在第$n$轮中，玩家I给出一个稠密集$D_n\subset Y$，或分别给出一个稠密开集$D_n\subset Y$，然后玩家II选取一点$y_n\in D_n$；若$y$在$\{y_n:n\in\mathbb N\}$的闭包中，则II获胜，否则I获胜。结果表明：(i) 若对每个$y\in Y$，II在$G_1(y)$中有获胜策略，则$f$是片段连续的；(ii) 若$f$的$x$-截面连续，且使得II在$G_2(y)$中有获胜策略的$y\in Y$的集合在$Y$中稠密，则$f$是拟连续的。结论(i)实质性地推广了Debs (1986)的一个结果，结论(ii)表明Talagrand (1985)关于分别连续映射的问题对于一大类“小”紧空间有肯定答案。