用于偏微分方程建模的克利福德神经层

偏微分方程 (PDEs) 在科学和工程中广泛应用，用于描述标量场和向量场随时间相互作用与共同演化的物理过程模拟。由于其标准求解方法计算代价高昂，神经 PDE 代理模型已成为加速这些模拟的活跃研究方向。然而，现有方法未显式考虑不同场及其内部分量之间的关系，而这些分量通常是相关的。通过多向量场视角看待此类相关场的时间演化，使我们能够克服这些局限。多向量场由标量、向量以及双向量和三向量等更高阶分量构成。其代数性质，如乘法、加法和其他算术运算，可由克利福德代数描述。据我们所知，本文首次在深度学习背景下使用了此类多向量表示以及克利福德卷积和克利福德傅里叶变换。所得到的克利福德神经层具有普适适用性，将直接用于流体动力学、天气预报以及一般物理系统建模等领域。我们通过在 2D Navier-Stokes 和天气建模任务以及 3D Maxwell 方程上，将常见神经 PDE 代理模型中的卷积和傅里叶运算替换为其克利福德对应物，实证评估了克利福德神经层的益处。在参数量相近的情况下，克利福德神经层持续改善了被测神经 PDE 代理模型的泛化能力。我们的 PyTorch 实现源代码可在 https://microsoft.github.io/cliffordlayers/ 获取。