欧氏空间中极小平移曲面的分类与构造

欧氏空间\r^3中的平移曲面是两条正则曲线$\alpha$与$\beta$之和，称为生成曲线。本文对\r^3中的极小平移曲面进行分类，并给出显式例子的构造方法。除平面与Scherk型极小曲面外，证明在生成曲线重新参数化意义下，任一极小平移曲面可描述为$\Psi(s,t)=\alpha(s)+\alpha(t)$，其中$\alpha$为以弧长$s$为参数的曲线，其曲率$\kappa$是自治常微分方程$(y')^2+y^4+c_3y^2+c_1^2y^{-2}+c_1c_2=0$的正解，其挠率为$\tau(s)=c_1/\kappa(s)^2$。此处$c_1\not=0$，$c_2$与$c_3$为常数，使得三次方程$-\lambda^3+c_2\lambda^2-c_3\lambda+c_1=0$有三个实根$\lambda_1$、$\lambda_2$与$\lambda_3$。