经典与相对论配置力的平衡

本文发展了一个统一的变分框架，用于经典（3D、非相对论）和相对论（4D）连续介质中的配置力（或材料力）。配置力描述材料缺陷（如裂纹、位错和界面）的演化，这些缺陷相对于材料而动，而不是通过物理空间。 在经典弹性体的背景下，作者们使用内在拉格朗日公式重新审视配置力的平衡，将材料体建模为抽象的三维流形。通过将参考配置视为变量并对其进行拉格朗日变分，他们表明配置力的平衡自然地出现。重要的是，这一平衡方程并非独立：它等价于标准线性动量平衡与本构关系的组合，借助 Eshelby 应力张量在参考配置中表达。随后在相对论弹性体中扩展了该框架。通过 General Relativity 中的相对论弹性体。物质由描述四维宇宙上的向量值函数的物质场表示，拉格朗日函数（即作用量）包括物质和引力贡献。产生两个应力能量张量：来自对物质场变分的 Noether 应力能量张量，以及来自对宇宙度规变分的 Hilbert 应力能量张量。假设一般协变性，作者们证明了这些张量及其相关平衡定律是等价的。通过引入观察者的概念并聚焦于静力学时空，作者们定义了变形的相对论推广，并推导出四维的 Eshelby 张量。他们表明，在特殊相对论中，正如经典连续介质力学所示，相对论配置力平衡也不是一个新方程，而是来自 Noether 应力能量张量的守恒律。最后，他们将经典配置力平衡恢复为相对论理论的非相对论极限。总体而言，本文提供了一个严密的几何和变分解释，统一了经典和相对论表述，阐明了其与标准平衡方程之间的深层联系。