在 Grover 行走中允许完美状态转移且价数不超过 4 的循环图

我们完全刻画了价数不超过 $4$ 且允许完美状态转移的循环图。价数为 $3$ 的图不允许完美状态转移。另一方面，价数为 $4$ 的循环图仅在两个无限族中允许完美状态转移：一个是 Zhan 发现的族，另一个是新发现的族，除此之外别无其他。推导这些结果的主要工具是图的对称性和特征值。我们基于图的对称性（数学上指图的自同构）描述了发生完美状态转移的必要条件。关于特征值，如果发生完美状态转移，则相应各向同性随机游走的某些特征值必须是代数整数的一半。考虑到这一点，我们利用了关于分圆域整数环的已知结果。