柴郡猫 resurgence、自 resurgence 与准精确可解系统

我们探索了量子力学 Sine-Gordon 和 Double-Well 势的单参数 $\zeta$-形变，分别称为 Double Sine-Gordon (DSG) 和 Tilted Double Well (TDW)。在这些系统中，对于正整数值的 $\zeta$，最低的 $\zeta$ 个态对于 DSG 是精确可解的——这一特征称为准精确可解性 (Quasi-Exact-Solvability, QES)——而对于 TDW 则在微扰论的所有阶上可解。对于 DSG，尽管作用量具有实鞍点，但这些态并未显示出任何类瞬子 (instanton-like) 的耦合常数依赖性。另一方面，尽管 TDW 没有实鞍点，但它允许存在所有阶的微扰态，这些态不可归一化，因此需要非微扰能量平移。这两个谜题都通过引入复鞍点得以解决。我们表明，收敛性由隐藏拓扑角的量子化所决定。此外，我们论证了 QES 系统可以与半经典展开中所有阶上实非微扰鞍点与复非微扰鞍点的精确抵消联系起来。我们还表明，整个 resurgence 结构仍然编码在 $\zeta$-形变的解析性质中，即使恰好在 $\zeta$ 为整数值时，由于微扰论的 Borel 和以及非微扰贡献均缺乏模糊性，resurgence 机制变得模糊不清。通过这种方式，即使 resurgence 的作用似乎消失，其所有特征依然存在，就像柴郡猫残留的笑容一样。我们还证明了微扰级数是自 resurgence 的——这一特征意味着微扰展开的早期项与同一展开的晚期项之间存在一一对应关系——这与 Dunne-"{U}nsal 关系密切相关。我们明确验证了情况确实如此。