刻画对数Bregman函数

基于密度幂散度与对数密度幂散度的最小散度方法在生成兼具高模型效率与强离群点稳定性的推断程序方面极为流行且成功。在实际情形中，此类程序总是优于那些以大幅效率损失换取鲁棒性的程序，或效率高但鲁棒性差的程序。Basu等人（1998）的密度幂散度（DPD）族与Jones等人（2001）的对数密度幂散度（LDPD）族提供了一类灵活的散度，其中效率与鲁棒性之间的权衡由单一、实数、非负参数控制。这两族散度在统计推断中的效用使得寻找同精神下其他相关散度族具有意义。DPD族是Bregman散度类的一个成员，而LDPD族通过对DPD族内各散度分段进行对数变换得到。当调谐参数$\alpha \rightarrow 0$时，DPD与LDPD两族均退化为Kullback-Leibler散度。本文详细研究此关系，并证明此类对数变换仅在Bregman散度的一般框架内、针对DPD（或DPD的凸生成函数）才有意义，这为有用散度的搜索范围给出了限度。