用顶点诱导划分刻画块图

给定一个具有顶点集 $V$ 和边集 $E\subseteq \binom{V}{2}$ 的有限连通简单图 $G=(V,E)$，我们将证明：1. 顶点集为 $V$ 且边集包含 $E$ 的（必然唯一的）最小块图，由 $V$ 索引的族 ${\bf P}_G:=\big(\pi_0(G^{(v)})\big)_{v \in V}$ 唯一确定，其中 $\pi_0(G^{(v)})$ 是将集合 $V$ 划分为图 $G^{(v)}:=(V,\{e\in E: v\notin e\})$ 的连通分量集的各个划分；2. 该块图的边集与 $V$ 的所有 2-子集 $\{u,v\}$ 的集合重合，对于所有这些子集，$u$ 和 $v$ 对于所有 $w\in V-\{u,v\}$ 都包含在 $G^{(w)}$ 的同一个连通分量中；3. 任意 $V$ 索引的划分族 ${\bf P}p=({\bf p}_v)_{v \in V}$（其中 $\pi_v$ 是集合 $V$ 的划分）具有 ${\bf P}p={\bf P}p_G$ 的形式（对于某个如上所述的具有顶点集 $V$ 的连通简单图 $G=(V,E)$），当且仅当对于任意两个不同元素 $u,v\in V$，${\bf p}_v$ 中包含 $u$ 的集合与 ${\bf p}_u$ 中包含 $v$ 的集合的并集等于集合 $V$，并且对所有 $v \in V$ 成立 $\{v\}\in {\bf p}_v$。这些事实不仅对块图理论本身具有意义，而且在有限度量空间的相容分解和块实现分析中也非常有用。