用一般线性群和射影线性群刻画强半线性嵌入

设 $V$ 和 $V'$ 为除环上的向量空间。假设 $\dim V$ 有限且不小于 3。考虑映射 $l:V\to V$ 具有如下性质：对每个 $u\in {\rm GL}(V)$，存在 $u'\in {\rm GL}(V')$ 使得 $lu=u'l$。我们的第一个结果表明，如果 $l|_{V\setminus{0}}$ 非常数且由 $l(V)$ 张成的 $V'$ 子空间的维数不大于 $n$，则 $l$ 是强半线性嵌入。我们给出了示例表明这些条件不可省略。在某些特殊情况下，该结论可从 Dicks 和 Hartley (1991) 以及 Zha (1996) 的结果中得出。记 ${\mathcal P}(V)$ 为与 $V$ 关联的射影空间，并考虑映射 $f:{\mathcal P}(V)\to {\mathcal P}(V')$ 具有如下性质：对每个 $h\in {\rm PGL}(V)$，存在 $h'\in {\rm PGL}(V')$ 使得 $fh=h'f$。根据第二个结果，如果 $f$ 非常数且其像包含在 $V'$ 的一个维数不大于 $n$ 的子空间中，我们还要求 $R'$ 是一个域，则 $f$ 由 $V$ 到 $V'$ 的强半线性嵌入诱导。